等比中项的公式用于描述等比数列中三项之间的特定关系。以下是详细说明：
一、基本公式
若三个数 $a$、$G$、$b$ 成等比数列，则中间项 $G$ 满足：
$$G^2 = a \cdot b$$
即：
$$G = \pm \sqrt{a \cdot b}$$
其中，正负号表示等比中项有两个解，分别对应数列中项的正负两种情况。
二、公式推导
设等比数列的公比为 $q$，则：
$$a = G \cdot q^{-1}$$
$$b = G \cdot q$$
将 $a$ 和 $b$ 代入 $G^2 = a \cdot b$ 得：
$$G^2 = (G \cdot q^{-1}) \cdot (G \cdot q) = G^2$$
该式恒成立，验证了公式的正确性。
三、应用场景
算法分析：
在计算时间复杂度或空间复杂度时，等比中项公式可用于分析算法的指数增长趋势。
数据处理：
通过快速计算等比关系，可识别数据序列的规律，例如在统计分析中处理等比数列数据。
数学推导：
作为等比数列性质的基础，用于证明其他相关定理（如等比数列求和公式）。
四、注意事项
等比中项公式仅适用于三项成等比关系的情况，任意两个数不一定存在等比中项。
当 $a$ 和 $b$ 同号时，等比中项有两个解；当 $a$ 和 $b$ 异号时，无实数解。
通过以上公式及推导，可系统理解等比中项在数学中的定义与实际应用。