等比数列的中项公式用于求解等比数列中任意两项的等比中项。等比数列的中项是指一个数，使得它与数列中的前一项和后一项构成等比关系。
等比数列中项的定义
设等比数列的首项为 $a$，公比为 $q$，则等比数列的通项公式为：
$$a_n = a \cdot q^{(n-1)}$$
等比中项的公式
等比中项 $b$ 满足以下关系：
$$b^2 = a \cdot c$$
其中，$c$ 是数列中的后一项，即：
$$c = a \cdot q^n$$
推导过程
1. 设等比中项为 $b$，则根据等比数列定义，前一项 $a$ 为 $b/q$，后一项 $c$ 为 $b \cdot q$。
2. 代入 $a$ 和 $c$ 的表达式，得到：
$$b^2 = \left( \frac{b}{q} \right) \cdot (b \cdot q)$$
3. 简化后得到：
$$b^2 = b^2$$
结论
等比数列的中项公式为：
$$b^2 = a \cdot c$$
这个公式表明，等比中项的平方等于数列中前一项与后一项的乘积。
示例
假设等比数列的首项 $a = 2$，公比 $q = 3$，要求第2项和第3项的等比中项。
1. 第2项 $a_2 = a \cdot q = 2 \cdot 3 = 6$
2. 第3项 $a_3 = a \cdot q^2 = 2 \cdot 3^2 = 18$
3. 等比中项 $b$ 满足：
$$b^2 = a_2 \cdot a_3 = 6 \cdot 18 = 108$$
4. 解得：
$$b = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$
因此，第2项和第3项的等比中项为 $6\sqrt{3}$。