飞机托运宠物的申请流程如下：
提前查询并确认航班信息
在计划旅行前，需要查询所乘航班的航空公司官方网站或联系航空公司客服，了解他们的宠物托运政策、费用和要求。确认航班是否有有氧舱，因为只有航班存在有氧舱的情况下，才能支持办理宠物托运手续。
办理宠物健康证明和疫苗证明
在飞机起飞7天前，带宠物去注射疫苗，获得宠物防疫证。然后在出发1到2天前，带宠物和宠物防疫证，前往兽医站对宠物进行全面检查，各方面都达标后即可获取宠物健康证明。
申请有氧舱
乘客需要在飞机起飞之前24小时至48小时内（具体时间根据航空公司规定而定）提出申请，并提供《动物检疫合格证明》和《小动物运输申请表》等文件。
准备宠物运输容器
根据航空公司的要求，准备一个符合国际航空运输协会（IATA）规定的合适运输容器。容器应该有足够的空间供宠物转身、站立和躺下，并且应该是安全、透气、防漏的。容器必须符合航空公司的尺寸和重量限制。
办理托运手续
在乘机的当日，按承运人指定的时间，将小动物自行运到机场办理托运手续。需要携带宠物、航空箱和相关证件到货运站办理托运手续，并按照航空公司指定的航班时间，将宠物和行李放入宠物箱中。
费用和其他注意事项
托运宠物的费用通常按照宠物的体重收费，并且有一些特殊的限制，例如宠物的体重不能超过某个限制或者宠物必须佩戴特殊的背包进行托运。
建议：
提前了解并确认所有相关手续和文件，确保行程顺利。
选择有良好口碑和服务的航空公司，确保宠物在运输过程中的安全和舒适。
如果可能，提前预订宠物托运服务，避免临时抱佛脚。