南关小学是 公立小学。具体信息如下：
芜湖市南关小学：
创办于1948年，是芜湖市的一所公立小学，拥有完善的硬件设施和优秀的师资力量，积极加强德育教育，全面实施素质教育。
武安市南关小学：
始建于1946年，2011年成为武安市教体局直属小学，学校占地面积33000平方米，建筑面积18625平方米，在校学生4430人，教职工234人。
德州市南关小学：
2006年按照“二十年不落后”的标准建成，是全镇一流的农村小学，施教区覆盖多个村庄，近年来获得多个荣誉称号。
延川县南关小学：
实施小学义务教育，促进基础教育发展，小学学历教育，住所位于延川县城南延水路055号，法定代表人为张彬。
保定市南关小学：
始建于二十世纪初期，1932年命名为南关公立小学，1948年改为南关小学，2005年三丰路小学并入，2004年被指定为进城务工子女定点学校。
汉中市南关小学：
实施小学义务教育、促进基础教育发展，小学学历教育，住所位于汉台区汉中路办事处南关正街110号，法定代表人为张红安。
张家口市宣化区南关小学：
位于张家口宣化区姑姑寺街35号，主要提供小学教育。
临清市青年路办事处南关小学：
位于聊城南关街，主要提供教学。
北京市通州区南关小学：
位于北京市通州区南大街东营后街9号，主要提供小学义务教育，促进基础教育发展。
综上所述，南关小学在不同地区是指不同的公立小学，均为当地教育的重要组成部分。