等差数列和等比数列的递推公式如下：
一、等差数列
通项公式 $$a_{n} = a_{1} + (n-1)d$$
其中，$a_{1}$为首项，$d$为公差，$n$为项数。
递推公式
$$a_{n} = a_{n-1} + d$$
表示第$n$项等于第$n-1$项加上公差$d$。
其他性质
- 通项公式可变形为：
$$a_{n} = a_{k} + (n-k)d \quad (k \neq n)$$
- 前$n$项和公式：
$$S_{n} = \frac{n(a_{1} + a_{n})}{2} = na_{1} + \frac{n(n-1)}{2}d$$。
二、等比数列
通项公式
$$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1}$$
其中，$a_{1}$为首项，$q$为公比，$n$为项数。
递推公式
$$a_{n} = a_{n-1} \cdot q$$
表示第$n$项等于第$n-1$项乘以公比$q$。
其他性质
- 通项公式可变形为：
$$a_{n} = a_{k} \cdot q^{n-k} \quad (k \neq n)$$
- 前$n$项和公式：
$$S_{n} = \frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q} \quad (q \neq 1)$$
当$q=1$时，$S_{n} = na_{1}$。
三、补充说明
递推关系与通项公式的区别： 递推公式仅涉及相邻项的关系（如差分或比值），而通项公式直接用项数$n$表示第$n$项。- 扩展应用