政府部门推进家庭教育促进法主要通过以下几个方面：
建立健全工作机制
各级人民政府负责妇女儿童工作的机构组织、协调、指导、督促有关部门做好家庭教育工作。
教育行政部门、妇女联合会统筹协调社会资源，协同推进覆盖城乡的家庭教育指导服务体系建设，并按照职责分工承担家庭教育工作的日常事务。
制定专项规划和政策
县级以上人民政府应当制定家庭教育工作专项规划，将家庭教育指导服务纳入城乡公共服务体系和政府购买服务目录，将相关经费列入财政预算。
政府通过政策支持和资金投入，强化了家庭教育指导服务体系，为家庭教育提供了有力的保障。
多部门协同合作
精神文明建设部门、公安、民政、司法行政、人力资源和社会保障、文化和旅游、卫生健康、市场监督管理、广播电视、体育、新闻出版、网信等有关部门在各自的职责范围内做好家庭教育工作。
人民法院、人民检察院发挥职能作用，配合同级人民政府及其有关部门建立家庭教育工作联动机制，共同做好家庭教育工作。
利用媒体和平台
省级以上人民政府应牵头组织、搭建覆盖城乡、传统媒体与新媒体深度融合的家庭教育信息共享服务平台，通过开设公益性网上家长学校和网络课程，提供便捷性、互动性、有效性的指导服务。
支持和鼓励社会力量参与
政府鼓励和支持以政府购买服务的方式提供家庭教育指导，补足家庭教育资源分布不均衡的短板，扩大优质家庭教育资源的覆盖面。
具备条件的中小学校、幼儿园应当在教育行政部门的指导下，为家庭教育指导服务站点开展公益性家庭教育指导服务活动提供支持。
宣传和教育
通过开展“共情家长课题”线上培训、家庭教育专题座谈会、亲子实践活动等方式，向学生家长宣讲《家庭教育促进法》，引导家长合法履行家庭教育责任。
监督和管理
教育行政部门、妇女联合会按照职责分工对家庭教育服务机构及从业人员进行指导和监督。
加强对家庭教育工作的督导评估，确保家庭教育促进法的有效实施。
通过以上措施，政府部门能够有效地推进家庭教育促进法，提升家庭教育的质量和水平，保障未成年人的合法权益和健康成长。