根据2017年8月13日的信息，西安市义务教育阶段公办中小学校不得收取借读费。因此，按照这一规定，西安的小学是不应该收取借读费的。
然而，2024年5月13日的信息表明，实际情况可能有所不同，有些学校可能会收取赞助费，这可能被视为借读费的一种形式。此外，2023年12月3日的信息也提到，虽然小学属于义务教育阶段且不收学费，但一些热门学校会私下收取借读费，金额通常在1至3万元之间。
综上所述，虽然官方规定小学不收取借读费，但实际操作中可能存在一些学校收取赞助费的情况。建议您咨询具体学校以获取最准确的信息。