根据提供的信息，南开区小学转学如果是县（市）区内部转学，则不需要支付额外费用。监护人需要持户籍迁移证明和监护人调动工作证明向转出学校提出书面转学申请，由转出学校开出转学联系单，然后监护人凭转学联系单及相关证明到转入学校联系，转入学校同意后，需交县（市）教育主管部门审核、盖章、备案。转出学校则凭转学联系单开具正式转学证明。
然而，如果涉及到私立小学的转学，情况则有所不同。私立小学名额有限，通常会根据赞助费的多少来优先录取。赞助费一般在10万以上，最多可达30万。
请注意，这些信息可能会随着时间和政策的变化而变化，建议在具体操作前咨询当地教育部门或学校获取最新的转学政策和费用信息