紫东南苑附近的小学有：
通师二附紫东南苑幼儿园，这所幼儿园是公立学校，距离小区约355米。
南通市第三中学学田校区，这所中学距离小区约2.1公里，虽然不属于小学，但也是附近的教育资源之一。
三里墩小学，这所小学距离小区较近，具体距离未详细提及，但属于附近的教育资源。
综合考虑，距离紫东南苑最近的小学是 一附集团南通市陆洪闸小学，距离小区约1.6公里。建议家长根据具体需求和方便性，选择最适合自己孩子的学校。